หินฐาน: ความต่อเนื่องแบบลิปชิทส์
เพื่อควบคุมว่าข้อผิดพลาดจะแพร่กระจายไปอย่างไร เราจำเป็นต้องมีฟังก์ชัน $f(t, y)$ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงอย่างกระทันหันมากนัก สิ่งนี้ถูกกำหนดอย่างเป็นทางการโดย เงื่อนไขลิปชิทส์.
ฟังก์ชัน $f(t, y)$ ปฏิบัติตามเงื่อนไขลิปชิทส์ในตัวแปร $y$ บนเซต $D \subset \mathbb{R}^2$ หากมีค่าคงที่ $L > 0$ ที่สอดคล้องกับ:
$$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| \le L|y_1 - y_2|$$
สำหรับทุกจุด $(t, y_1), (t, y_2) \in D$ ค่าคงที่ $L$ นี้คือ "ข้อจำกัดความเร็ว" สำหรับการเปลี่ยนแปลงแนวตั้งของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 1: การวิเคราะห์ค่าคงที่ลิปชิทส์
พิจารณา $f(t, y) = t|y|$ บน $D = \{(t, y) \mid 1 \le t \le 2, -3 \le y \le 4\}$ โดยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย (หรือคุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์):
$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| = |t|y_1| - t|y_2|| = |t| \cdot ||y_1| - |y_2|| \le |t| \cdot |y_1 - y_2|$.
เนื่องจากค่ามากสุดของ $t$ ในโดเมนของเราคือ 2 ดังนั้นค่าคงที่ลิปชิทส์คือ $L=2$
ความสมบูรณ์ทางเรขาคณิตของโดเมน
เราไม่สามารถแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น (IVP) ในโดเมนที่มีช่องว่างได้ เราต้องการ ความเว้าโค้ง.
เซต $D$ เป็นเว้าโค้งหากสำหรับจุดสองจุดใด ๆ $(t_1, y_1)$ และ $(t_2, y_2)$ เส้นตรงที่กำหนดโดย:
$$((1 - \lambda)t_1 + \lambda t_2, (1 - \lambda)y_1 + \lambda y_2)$$
สำหรับ $\lambda \in [0, 1]$ ยังอยู่ภายใน $D$ นี้ทำให้มั่นใจว่าไม่มีส่วนใดของเส้นทางคำตอบ
ทฤษฎีบทการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์
เมื่อเงื่อนไขเหล่านี้สอดคล้องกัน เราจะใช้ ทฤษฎีบท 5.4: หาก $f$ ต่อเนื่องและเป็นไปตามเงื่อนไขลิปชิทส์บนเซตเว้าโค้ง $D$ แล้ว ปัญหาค่าเริ่มต้น $y' = f(t, y), y(a) = \alpha$ จะมี คำตอบเดียว คำตอบ $y(t)$ นี้ ยืนยันว่าวิธีการต่าง ๆ ตั้งแต่เรียบง่ายอย่างออยเลอร์ ($w_{i+1} = w_i + h f(t_i, w_i)$) ไปจนถึงซับซ้อนอย่างตรรกะคาดการณ์-แก้ไข:
$WC = w_{i-1} + \frac{h}{24}[9f(t_i, WP) + 19f(t_{i-1}, w_{i-1}) - 5f(t_{i-2}, w_{i-2}) + f(t_{i-3}, w_{i-3})]$.